Question

高等数学 不等式 求解！！！详细步骤！！ 谢谢！！

Answer 1

我和你说一下思路，然后以后的题目都能够按照这个思路来做

1. 行列式你会算吧，整理一下要证明的式子左边，原来式子就变成了，（xe^y-ye^x)/(x-y)<1.

2. 设x>y，那么要证明的式子就变成了要证明xe^y-ye^x<x-y.

3. 再整理一下，把x挪到不等式左边，把ye^x挪到不等式右边，合并同类项，要证明就是得到的式子：x(e^y-1)<y(e^x-1)

4. 分离变量，就是把含有x的放一堆，含有y的放在另一堆，那么就是要证明x/(e^x-1)<y/(e^y-1)

5. 做到这就很明显了，考虑到假设的是x>y，那么就是证明z=z(t)=t/(e^t-1) 在t>0 的时候是一个单调递减的函数，或者证明它的倒数函数z=z(t)=(e^t-1)/t 在t>0 的时候是一个单调递增的函数，这个函数求导就行了，然后判断一下就搞定了。

6. 反之，当x<y时，也是一样的，就可以了

7. 做题的时候把思考的过程反过来写就是你最后答题的过程

8. 总结一下：这个题目题干非常简单，所以得从要证明的结论入手；然后发现证明的是不等式，并且还有两个变量，那么应该是利用单调性，但是因为是两个变量，所以在过程中需要分离变量。
   

追问

你用的柯西？

哦哦 你用的单调性 两个变量一定要分离变量x一边 y一边 再想辅助函数？

追答

没有用柯西不等式啊，当然柯西可以，但是利用单调性来求解会更简单明了一点。第四步里面的左右两边除了x的位置替换了成了y以外其余都是一样的，那么就可以想到应该是一个这种类型的函数，因为分母是平方项，所以不会对正负号有影响，所以只考虑对这个函数求导得到的分子是e^t-te^t-1，还是不能判断正负，所以再对它的分子求一个导，得到的是-te^t，这个很明显了，当t>0的时候，分子是单调递减的，所以分子的最大值就是t=0的时候，带进去得到原函数求导的最大值也是负数，所以原函数是单调递减的，得证。

Answer 2

不妨设x＞y＞0，不等式化为x.ey-y.ex＜x-y ，x(ey-1)＜y(ex-1)即证(ey-1)/y＜(ex-1)/x(x＞y＞0)
设f(x)=(ex-1)/x
f'(x)=(ex.x-ex+1)/x2
再另g(x)=ex.x-ex+1
g'(x)=ex.x+ex-ex=ex.x＞0(x＞0)
f'(x)min=f'(0)=0则f(x)为增函数，因为x＞y则f(x)＞f(y)，得证。
也可以用柯西中值定理证

追答

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追问

用单调性怎么证的？单调性证不出来

追答

我用的就是单调证的啊 你仔细看看

追问

它们是一个式子演变出来的 那就用辅助函数可以证 你写的我实在看到有点打脑壳

追答

哪一步看不懂 ？f(x)就是辅助函数 我设x＞y，又证明了f(x)为增函数，那么f(x)＞f(y)，不就证出来了吗

追问

你意思是画圈的式子是单调递增的？

追答

递增的！ 你仔细看看我写的解答过程

追问

就是格式有点打脑壳 我在本子上写出来了

追答

我用爪机打的 ，，满意就给个采纳吧

追问

要的 谢谢

Answer 3

把左侧分子的二阶行列式展开后，分子分母同除以xy，你会发现：分母是函数g(t)=1/t在x和y两点数值的差，而分子是函数f(t)=e^t /t在x和y两点数值的差。依据柯西中值定理，左侧等于f'(t)/g'(t)，求出f'(t)与g'(t)后，容易证明它们的比小于1.

追问

柯西出来后怎么证小于0

Answer 4

不会写。留个评论以后来看

追问

……

出来了

追答

谢谢！原来是证单调性！我都到那一步了居然做不下去了