Question

不等式求解 求数学高手！！！！！！ 在线等！ 速解啊~！

已知a b c为正实数
1.求证 a+b+c≤a^2+b^2/2c+b^2+c^2/2a+c^2+a^2/2b≤a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab
2.求证 ab（a+b）+bc（a+b）+ac（a+b）≥6abc
1.求证 a+b+c≤（a^2+b^2）/2c+（b^2+c^2）/2a+（c^2+a^2）/2b≤（a^2）/bc+（b^2）/ac+（c^2）/ab
2.求证 ab（a+b）+bc（a+b）+ac（a+b）≥6abc

Answer 1

（一）现证左边的不等式：a+b+c≤[(a²+b²)/2c]+[(b²+c²)/2a]+[(c²+a²)/2b].（1）由基本不等式√[2(x²+y²)]≥x+y.可知，√[2(a²+b²)+√[2(b²+c²)]+√[2(c²+a²)]≥2(a+b+c).===>[√(a²+b²)+√(b²+c²)+√(c²+a²)]²≥2(a+b+c)².(2)由柯西不等式可知,[(2c)+(2a)+(2b)]×{[(a²+b²)/2c)]+[(b²+c²)/2a]+[(c²+a²)/2b]}≥[√(a²+b²)+√(b²+c²)+√(c²+a²)]²≥2(a+b+c)².===>[(a²+b²)/2c]+[(b²+c²)/2a]+[(c²+a²)/2b]≥a+b+c.【第一大题的右边不等式有问题啊。令a=b=c=m>0.则可得：3m≤3.当m＞1时，明显不对。】（二）令a=1,b=2,c=3.则有33＞36.矛盾。请LZ再看看题。

Answer 2

第一题错误。。。将a=b=c=0.1代入，前半部分不满足，后面我没验证
第二题又是错题，将4，5，6代入不满足，如果是完全对称的式子的话你可以把一次项提出来然后两两配方用平均不等式得证

Answer 3

(1)
a^2+b^2/2c≥ab/c
b^2+c^2/2a≥bc/a
c^2+a^2/2b≥ac/b
a^2+b^2/2c+b^2+c^2/2a+c^2+a^2/2b≥ab/c+bc/a+ac/b
=1/2[(ab/c+bc/a)+(ac/b+ab/c)+(bc/a+ac/b)]
≥1/2(2b+2a+2c)=a+b+c
先交一部分
(2)题目 有问题 我改动了一下
ab（a+c）+bc（b+a）+ac（c+b）≥6abc

ab（a+c）+bc（b+a）+ac（c+b）=3abc+a^2b+b^2c+ac^2≥3abc+3立方根下（a^3b^3c^3）=3abc+3abc=6abc