Question

老师这道题，怎么用罗尔定理的方式求

设f(x)在[a,b]上具有二阶导数 且f(a)=f(b)=0 f'(a)f'(b)>0 证明 至少存在一点c属于（a,b),使f‘’（c）=0

Answer 1

∵f(a)=f(b)=0,根据罗尔定理可知在(a,b)内有一点x1使得f'(x1)=0
∵f'(a)f'(b)>0,不妨设f'(a)>0,f'(b)>0,于是根据零点的意义可知在x=x1处f'(x)的正负性改变(如果不改变,即在x1左右导数都为正,那f(x)是增函数,f(a)≠f(b),矛盾)
于是在x>x1时f'(x)<0
但f'(b)>0,说明必然在(x1,b)上有另一个零点x2使得f'(x)的正负性发生改变,即f'(x1)=f'(x2)=0
由罗尔定理得在(x1,x2)存在一点c使得f''(c)=0