Question

关于基本不等式，a+b大于等于2根号ab，为什么有且仅当a=b时取最小值

Answer 1

原因：

由（a-b）²≥0；

a²-2ab+b²≥0；

a²+2ab+b²≥4ab；

（a+b）²≥4ab；

∴a+b≥2√ab成立。

只有当a=b时，

不等式左边：a+b=2a，

不等式右边：2√ab=2a，

即等号成立，取到最小值。

扩展资料：

常用不等式

1、√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)

2、a²+b²≥2ab

3、ab≤(a+b)²/4

4、||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|

不等式基本性质：

1、如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）

2、如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）

3、如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）

4、如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）

5、如果x>y，m>n，那么x+m>y+n。(充分不必要条件)

Answer 2

a+b≥2√ab，当且仅当a=b时取等号（最小值）
解答：
由（a-b）²≥0
a²-2ab+b²≥0
a²+2ab+b²≥4ab
（a+b）²≥4ab，
∴a+b≥2√ab成立。
只有当a=b时，
不等式左边：a+b=2a，
不等式右边：2√ab=2a，
即等号成立，取到最小值。

Answer 3

基本不等式是指对于任意非负实数a和b，有以下不等式成立：

a + b ≥ 2√(ab)

要证明为什么只有在a=b时，不等式达到最小值，我们可以使用平方差公式来分析。首先，我们将不等式的两边同时平方：

(a + b)^2 ≥ (2√(ab))^2
a^2 + 2ab + b^2 ≥ 4ab
a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0
(a - b)^2 ≥ 0

由于平方的结果总是非负的，所以(a - b)^2 ≥ 0对于任意实数a和b都成立。

当且仅当(a - b)^2 = 0时，不等式取等号。这意味着a - b = 0，即a = b。所以只有当a=b时，不等式达到最小值0，也就是说，当a=b时，a + b = 2√(ab)。

因此，基本不等式中的等号仅在a=b时取到，此时取得最小值。当a≠b时，不等式成立但不取等号，取得的值大于2√(ab)。

综上所述，基本不等式在a=b时取到最小值，而在a≠b时取得较大的值。

Answer 4

基本不等式是指对于任意非负实数 a 和 b，有 a + b ≥ 2√(ab) 成立。
当 a 和 b 相等时，即 a = b，等号成立。此时，基本不等式可以写为 2a ≥ 2√(a^2)，即 2a ≥ 2a，等号依然成立。
当 a ≠ b 时，假设 a > b。我们可以使用反证法来证明不等号左边大于右边。假设 a + b < 2√(ab)。由于 a > b，我们可以进行如下推导：
a + b < 2√(ab)
a^2 + 2ab + b^2 < 4ab （两边平方）
a^2 - 2ab + b^2 < 0
(a-b)^2 < 0
然而，由于 (a-b)^2 是一个非负数的平方，它不可能小于零。所以假设不成立，即 a + b 不可能小于 2√(ab)。
综上所述，当 a ≠ b 时，不等式 a + b ≥ 2√(ab) 总是成立，但无法取等号。只有当 a = b 时，等号成立，此时取得不等式的最小值。

Answer 5

基本不等式是一种在数学中常用的不等式关系，其中"atb ≥ 2√(ab)" 是基本不等式的形式之一，其中 a 和 b 是非负实数。
当我们将不等式"atb ≥ 2√(ab)" 进行简化和推导时，可以得到以下理解：
1. 证明 atb ≥ 2√(ab)：我们可以将不等式左侧的 atb 拆分为 (a√b)·(b√a)，然后应用算术-几何均值不等式 (AM-GM不等式)。根据算术-几何均值不等式，(a√b)·(b√a) 的值最小当且仅当 a√b = b√a，即 a = b。当 a = b 时，不等式变为 a² ≥ 2a²，即 1 ≥ 2，这是一个不成立的结论。因此，我们可以推导出 a ≠ b 时，atb ≥ 2√(ab)。
2. 说明 a-b 时取最小值：当我们将 a-b 代入不等式中，可以得到 (a-b)·b ≥ 2√((a-b)b)，简化后得到 b² - ab + 2ab - 2b√(ab) ≥ 0。将其拆分为两个部分，得到 (b-√(ab))² ≥ 0，这是一个恒成立的结论。因此，当 a-b 时，不等式取得最小值，最小值为 0。
综上所述，对于不等式 atb ≥ 2√(ab)，它成立当且仅当 a ≠ b，并且取得最小值当且仅当 a = b。