Question

初三的一道数学题

如图所示，在平面直角坐标系内，点A和点C的坐标分别为(4，8)、(0，5)，过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y＝kx＋b平行于AC，与AB相交于点E，连结CD，过点E作EF‖CD交AC于点F。
(1)求经过A、C两点的直线的解析式；
(2)当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF成为矩形？若能，求出此时k、－b的指；
若不能，请说明理由；
(3)如果将直线AC作上下平移，交y轴于C’，交AB于A’，连结DC’，过点E作
EF’‖DC’，交A’C’于F’，那么能否使四边形C’DEF’为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由。
第1，2问可以不答，重点是第三问。请大家帮忙解决一下。。

Answer 1

1）y=kx+b,k=8-5/4-0=3/4
点A，C在直线上8=3x4/4+b,b=5
解析式：y=3x/4+5
2)直线DE的解析式：y=3x/4+b，k=3/4
直线CD垂直于直线AC，且直线CD过D点，直线CD的解析式：y=-4x/3+5
与x轴交于点D（x,o）代入上式，x=15/4在0到8之间
直线DE过点D，直线解析式：y=3x/4-45/16，b=-45/16
存在该D点，使得四边形CDEF为矩形，k=3/4,-b=45/16
3)假设存在,则DE=DC´
直线DE的解析式：y=3x/4+b,D(-4b/3,0)
直线DE与直线AB交于点E，E(4,3+b)
直线DC´与直线DE垂直，直线DC´的解析式：y=-4x/3-16b/9
直线DC´与y轴交于点C´，C´(0,-16b/9)
则有：DE=√(3+b)²+[4+(4b/3)]²
DC´=√(4b/3)²+(16b/9)²
(7b+9)(b-9)=0,b=-9/7或9
D点在线段OB内，所以直线DE：y=3x/4+b中，b〈0
b=-9/7，所以四边形C´DEF´能为正方形
正方形C´DEF´的面积S=DE·DC´=20/7

Answer 2

设y=a(x-4)^2-b,则b/a为完全平方数
因为2·3=6，
故2√b/a=1或2或3或6
当a=4b时，函数纵截距绝对值为|63b|=6，b=正负2/21；
当a=b时，函数纵截距绝对值为|15a|=3，a=正负1/5；
当a=4k,b=9k时，纵截距绝对值为|55k|=2，k=正负2/55；
当b=9a时，函数纵截距绝对值为|7a|=1，a=正负1/7
根据上述讨论可以写出满足条件的抛物线