Question

如何判断二次函数的开口方向问题

ax²+bx+c>0
-ax²-bx-c>0
ax²+bx+c<0
-ax²-bx-c<0
假设( a>0) 如何判断开口方向？或者这四个表达式有什么问题？

Answer 1

判断二次函数的开口方向，与b、c无关，只用看a即可(可以理解成二次项的系数)，二次函数的一般形式就是y = ax²+bx+c,若二次项系数a>0,开口向上，反之，开口向下。下面分析你给的四个式子，（a>0是前提条件），第一个式子中，二次项系数a大于0，所以开口向上。第二个式子中，二次项系数-a<0,所以开口向下。后两个的分析方法类似。若其大于0，那么反应到函数图像上面，就是表示x轴上面的图像部分对应的x的取值范围。若其小于0，表示x轴下面的图像部分对应的x的取值范围，数形结合思想，画个图，显而易见。

追问

你没发现（1和4 2和3）变形后是一样的？难道开口方向不一样？这个才是我要问的问题？

追答

把二次不等式化作二次函数，即抛物线，来判断开口方向，对吧？就说具体的，x²+x+1>0，看到这个不等式你想到了什么，是不是y=x²+x+1这个抛物线 y 轴正半轴部分的集合。-x²-x-1<0呢，是不是 y=-x²-x-1, y 轴负半轴部分的集合。两个不等式变形后确实一样，但是写法不同，表示的意义就不同，反映到图型上绝对不同，一个开口向上，一个开口向下。但是！不管意义一样不一样，表示的图形开口方向一样不一样，最终解出来的解 x 怎么样怎么样都是相同的，因为不等式决定了最终的解。

Answer 2

设二次函数为y=ax²+bx+c，这里的a的正负代表的就是二次函数开口的方向，如果a>0,则二次函数开口向上，如果a<0，则二次函数开口向下

因为你题中给的a>0,所以第一个跟第三个开口向上，第二个和第四个开口向下

追问

你没发现（1和4 2和3）是一样的？难道开口方向不一样？

追答

没发现 a的正负代表开口方向，和其他参数没关系，你看1，4 2，3 a的正负是不同的，不要看别的参数（b,c)

追问

比如 ax²+bx+c>0 变形后为 -ax²-bx-c<0 这两个应该是一样的。难道开口方向会发生变化？请解释下。

追答

当然了，他们的图像不同，一个开口向上一个向下，只和a 有关 这个式子是求x的取值范围，你写的第二个和第一个的解集是相同的，所以这两个式子是一样的，你可以随便找一个二次函数试一下，画一下图像

Answer 3

这个很简单，只要看x²前系数的正负数就可以，不用管大于小于号，如果x²前的系数是正数，则二次函数（这里叫抛物线）开口向上；如果x²前系数是负数，则开口朝下。例如你给的四个不等式，ax²+bx+c>0 和ax²+bx+c<0的开口朝上，-ax²-bx-c>0和-ax²-bx-c<0的开口朝下。

追问

你没发现（1和4 2和3）变形后是一样的？难道开口方向不一样？这个才是我要问的问题？

追答

正如“善言而不辩”所言，1和4的解集一样，但1的开口向上、4的开口向下，你所迷惑的是“ax²+bx+c>0    变形后为  -ax²-bx-c<0 ” ，这两个的解集是一样的，它两关于x轴对称，即ax²+bx+c>0求的是X轴上部的解； -ax²-bx-c<0 求的是X轴下部解。但他们开口相反。

Answer 4

二次函数的开口方向由二次项系数a决定，与一次项、常数项无关。
a>0 开口向上 二次函数顶点处取得最小值
-a<0 开口向下 二次函数顶点处取得最大值

追问

你没发现（1和4 2和3）是一样的？难道开口方向不一样？

追答

没仔细看题，你这个不是二次函数，是二次不等式
题中规定a>0，则-a<0
∴二次函数y=ax²+bx+c①的开口向上，y=-ax²-bx-c②开口向下
①是求开口向上的抛物线在x轴上方的部分，②是求开口向下的抛物线在x轴上方的部分
①和④的解集是一样的，但所对应的函数图像不同。

Answer 5

1.因为二次函数可以看成y=ax²+bx+c（a≠0），配方化简变式可以得到y=a（x+b/2a）²-4a/（4ac-b²）。
2.因为a，b，c都是定值，所以可以把后面的式子-【4a/（4ac-b²）】设为一个常数k，那么式子可以变为 ，
3. y=a（x+b/2a）²+k（a≠0），从这个式子就可以看出（x+b/2a）²一定为大于0的数，
4.所以当a>0时，（x+b/2a）趋近负无穷或正无穷时，y趋近无穷大，当x=-（b/2a）时，y有最小值，开口朝上。
5.同理可得a<0的情况。