Question

高等数学，有界性的一个证明题。

证明：
函数f(x)=sin(1/x)/x在区间（0，1]上无界，且在x趋近于0+时不是无穷大。
我用的是反证法，但是证完后总觉得有些不对。希望高数大神指点迷津。我的证明过程就不写了，关键在于理解这个思想。

Answer 1

方法一：
用函数极限与数列极限的关系可以很容易说明结论“在x趋近于0+时不是无穷大”，而函数是无穷大则可以说明函数无界

取xn＝1/2nπ，n为正整数，则n→∞时，xn→0＋，f(xn)＝0，所以f(x)不是x→0+时的无穷大
取yn＝1/(2nπ+π/2)，n为正整数，则n→∞时，yn→0＋，f(yn)＝2nπ+π/2→＋∞，所以f(x)当x→0+时无界，从而f(x)在(0,1]上无界

方法二：定义
（函数f(x)在在(0,1]上无界，即是证明对于任意大的正数M，存在x∈(0,1]，使得|f(x)|＞M）
对于任意大的正数M＞1，一定存在一个充分大数n，使得2nπ+π/2＞M，所以x＝1/(2nπ+π/2)∈(0,1]，而f(x)＝2nπ+π/2＞M，所以f(x)在(0,1]上无界

（函数f(x)当x→0+时不是无穷大，即是证明存在正数M，对于任意的正数X，存在x，x＞X，但是|f(x)|＜M）
存在正数M＝1，对于任意的正数X，存在正整数n，使得2nπ＞1/X，取x＝1/(2nπ)，则x＞X，而|f(x)|＝0＜M，所以f(x)当x→0+时不是无穷大

Answer 2

不管多大的M>0, 总能找到足够小的x0=1/[(2n+1/2)π]
使得
sin(1/x0)/x0=1/x0=
(2n+1/2)π>M
故在x→0+时sin(1/x)/x无界。

不管x0∈(0,1]有多小，总能找到足够小的想x1<x0使得
1/x1=(2n+1/2)π, 0<x1<x0,sin(1/x1)/x1=1/x1>1
而且还能找到x2<x0使得
1/x2=2nπ, 0<x2<x0,sin(1/x2)/x2=0
故在x→0+时sin(1/x)/x没有极限，更不是无穷大；