Question

函数在某点处不连续就一定不可导吗？

如图，求大佬解惑？实在不知道哪里出问题了

Answer 1

Δx大于零，少一个lim{[f(x－Δx)－f(x)]/（－Δx）}

(△x-1)/△x 在△x→0+时是趋于-∞的，在△x→0-时是趋于+∞的，因而不可导 

可导不只是说这个形式极限存在，而是△x趋于0+和0-的两个极限都存在且相等

x=x0点的导数的定义公式

lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）

如果函数在x0点可导，那么这个极限必须存在，即等于一个有限常数，设为a

即lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）=a

而f（x）-f（x0）=（x-x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）

所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]

=lim（x→x0）（x-x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）

=lim（x→x0）（x-x0）*lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）

=0*A=0

而lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]

=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）f（x0）

因为f（x0）是常数（函数式在任何一点上的函数值都是常数）

所以lim（x→x0）f（x0）=f（x0）

所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]

=lim（x→x0）f（x）-f（x0）=0

lim（x→x0）f（x）=f（x0）

f（x）在x0点处极限值等于函数值，所以在x0点处连续。

扩展资料：

如果f(x)在(a,b)内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导，f'(x)为区间[a,b]上的导函数。

若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值，都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y'或者f′(x)。

函数f(x)在它的每一个可导点x。处都对应着一个唯一确定的数值——导数值f′(x)，这个对应关系给出了一个定义在f(x)全体可导点的集合上的新函数，称为函数f(x)的导函数，记为f′(x)。

参考资料来源：百度百科-导函数

Answer 2

1、连续的函数不一定可导。 2、可导必连续。 3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。 4、存在处处连续但处处不可导的函数。背过这个就OK了可导必连续，它的逆否命题是不连续则不可导所以如果不连续，则不可导

追问

但这里不连续却可导了啊？是我哪里想错了吗？

Answer 3

最后一个等号明显不对啊
(△x-1)/△x 在△x→0+时是趋于-∞的，在△x→0-时是趋于+∞的，因而不可导 -_-||
可导不只是说这个形式极限存在，而是△x趋于0+和0-的两个极限都存在且相等

Answer 4

若在某点不连续，则△x→0（即无穷小）时，极限△y≠0，所以lim△x→0 △y/△x不存在，即f'(xo)不存在。所以函数在某点不连续就一定不可导。

Answer 5

对，证明其逆否命题（可导必连续）即可。