Question

积分tf(x-t)dt求导

Answer 1

综述如下：

∫［0~x］（x-t）f（t）dt

＝∫［0~x］｛xf（t）dt-tf（t）｝dt

＝∫［0~x］dt-∫［0~x］dt

=x∫［0~x］f（t）dt-∫［0~x］dt

然后开始求导：

∫［0~x］f（t）dt+xf（x）－xf（x）＝∫［0~x］f（t）dt

就是这个结果。把x看成是常数，提到积分号外面就可以了。

积分简介

积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

∫[0~x](x-t)f(t)dt
=∫[0~x]{xf(t)dt-tf(t)}dt
=∫[0~x][xf(t)]dt-∫[0~x][tf(t)]dt
=x∫[0~x]f(t)dt-∫[0~x][tf(t)]dt
然后开始求导：
∫[0~x]f(t)dt+xf(x)-xf(x)=∫[0~x]f(t)dt
就是这个结果。
把x看成是常数，提到积分号外面就可以了。