Question

三角函数的计算

Answer 1

①
先求cos36°
做顶角为36度的等腰三角形ABC,顶角为A,做BE平分角B,设等腰三角形的腰AB=AC=a,AE=BE=BC=x,由三角形相似,得(a-x)/x=x/a,解得x=(√5-1)/2a,做BD垂直AC于D,在直角三角形ABD中,AD=x+(a-x)/2=(√5+1)a/4,所以cos36°=AD/AB=(√5+1)/4
cos(2π/5)+cos(4π/5)=cos（2π/5）+2cos²(2π/5)-1，
又因为sin（π/5）=（根号5-1）/2。
cos（2π/5）=1-2[（根号5-1）/2]²=[（根号5）-2]/2
原式=（根号5-2）/2+2[（根号5-2）]²-1/2
={（根号5）-2-2[5-4（根号5）+4]-1}/2=[（根号5）-2-18+8（根号5）-1]/2
=-1/2
②
(cos10°)²+(cos50°)²-sin40°sin80°=[sin（60°+20°）+sin（40°-20°）]²-3sin（60°-20°）sin（60°+20°）=（2sin60°cos20°）²-3[（sin60°cos20°）²-（cos60°sin20°）²]=（3/2）cos²20°-（9/4）cos²20°-（3/4）（-1-cos²20°）=（6/4）cos²20°-（9/4）cos²20°+（3/4）+（3/4）cos²20°=3/4