Question

设n阶矩阵A满足A平方=A, E为n阶单位矩阵,证明r(A)+r(A-E)=n.

Answer 1

n阶矩阵A满足A平方=A
===>r(A)≤n
当r(A)=n时,===>A=E===>r(A-E)=0===>r(A)+r(A-E)=n
当r(A)
A为至少有一行是全0的单位矩阵
===>r(A)+r(A-E)=n.
===>n阶矩阵A满足A平方=A,
r(A)+r(A-E)=n

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

知识点:
1.
ab=0
,
则
r(a)+r(b)
<=
n.
其中a,b分别是
m*n,
n*s
矩阵.
2.
r(a+b)
<=
r(a)+r(b)
证明:
由a^2=a得
a(a-e)=0
所以
r(a)+r(a-e)
<=n.
又
n
=
r(e)
=
r
(a
-
(a-e))
<=
r(a)+r(a-e).
所以
r(a)+r(a-e)
=
n.