Question

,BC是○O的直径,A是弦BD延长线上一点,切线DE平分AC于E,求证：AC是○O的切线

Answer 1

(1)
证明：
因为bc是圆o的直径
所以，∠bdc=90°(直径所对的圆周角是直角)
因为∠adc
∠bdc=90°(平角定义)
所以，∠adc=90°
因为ae=ce即e为rt△adc斜边ac的中点
所以，de=ce(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
所以，∠edc=∠ecd(等边对等角)
因为de切圆o于d
所以，∠edc=∠dbc(弦切角定理)
所以，∠ecd=∠dbc(等量代换)
因为∠dbc
∠dcb=90°
即∠ecd
∠dcb=90°
所以，∠acb=90°
所以，ac是圆o的切线(圆的切线判定定理)
(2)
解：由射影定理，得ad×ab=ac^2
因为ad÷db=3÷2
所以，ad=1.5db
所以，ab=ad
db=2.5db
且ac=15
所以，1.5db×2.5db=225
所以，db^2=60
所以，db=2根号15
所以，ab=5根号15
所以，由勾股定理，得
bc=根号(ab^2-ac^2)=5根号6
即圆o的直径为5根号6