Question

为什么一般矩阵的对角化求基础解系就行了，实对称矩阵的对角化那么复杂，求完基础解系还要正交化单位化？

Answer 1

你好，如果是单纯的解实对称矩阵的方程组，也是不需要单位正交化的。如果是在二次型里面，我们需要求P，使得P^(T)AP为标准型，这个时候我们就需要单位正交化了，因为我们求出特征向量之后有P^(-1)AP为对角矩阵，而只有单位正交化之后才有P^(T)=P^（-1）。另外我们在计算的时候用单位正交矩阵也比较方便，因为P^(T)=P^（-1），我们不需要另外再求P^（-1），只需要得出P^(T)即可。

Answer 2

假设a是对称矩阵
而p=(p1
p2
p3)其中p1
p2
p3是a线性无关的特征向量（但没正交单位化）而q=(q1
q2
q3）是正交单位化后的a的三个线性无关的特征向量b为对角矩阵则有a=pb（p逆）还有a=qb(q逆）=qb（q转置）这样求出来的矩阵a是不是同一个？