Question

实对称矩阵对角化中，将基础解系正交化单位化的意义何在？

Answer 1

这样求得的对角阵对角线上元素正好是特征值，这种变化叫正交变换。
否则，叫可逆变换，求得的对角阵上元素并不一定是特征值。

追问

我认为正交单位化是为了方便求相似变换矩阵P

追答

变换矩阵P不正交单位化不是更简单吗，直接将特征向量组合成一个矩阵

追问

普通方阵对角化并不用正交单位化，求得的特征值恰好也是对角矩阵的对角元素。你说的并不对

但是最后求解不简单

一般情况下，直接写出对角矩阵。但实际上应该用P和P的逆矩阵计算得出，将基础解系正交单位化，方便求解p的逆矩阵。

你也是个学生吧！

追答

我说的错了错了，这能不能删除啊，不要误导了别人，抱歉

追问

没事

Answer 2

这样能将二次型转换为规范型。

追答

也就是说你最终得到的二次型平方项系数只是1或者-1或者0。不会出现其他数字。

追问

看清楚题

追答

只能说实对称矩阵进行的都是正交相似对角化，所以需要进行施密特正交化以及标准化

你要问为什么一定进行正交对角化，这个问题我没想过。我仔细想想吧

我猜可能是为了二次型变换服务的。二次型化为标准型时，必须要让二次型矩阵合同于对角矩阵。这样一来，P矩阵的转置就等于P矩阵的逆了。为了达到这种目的，P矩阵就得是正交矩阵。所以要把基础解系正交单位化。

追问

也对呀！