Question

设a是m*n矩阵,b是n*m矩阵,线性方程组abx=0

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，则线性方程组（AB）x=0（　　）

A．当n＞m时仅有零解
B．当n＞m时必有非零解
C．当m＞n时仅有零解
D．当m＞n时必有非零解

Answer 1

因为AB矩阵为m×m方阵，所以未知数的个数为m个，
又因为：r（AB）≤r（A）≤n，
（1）当m＞n时，r（AB）≤r（A）≤n＜m，
即系数矩阵的秩小于未知数个数，所以方程组有非零解．
（2）当m＜n时，r（A）≤m＜n，而 r（AB）≤r（A）
所以不能判断矩阵AB的秩是否小于m或等于m，也就不能判断是否有非零解．
故应选D．

Answer 2

当m>n时，齐次线性方程组Bx=0必有非零解，容易验证Bx=0的解均为ABx=0的解，故此时ABx也有非零解，故选D。