Question

若a1,a2线性无关，β1，β2线性无关 则a1-β1，a2-β2也线性无关 对吗？？

在线等 挺急的

Answer 1

错

设a1 = (1, 0)，a2 = (0, 1)，β1 = (1, 1)，β2 = (2, 2)。

显然，a1和a2是线性无关的，β1和β2也是线性无关的。

但是，a1 - β1 = (0, -1)，a2 - β2 = (-2, -1)，它们的向量差为(0, -1) - (-2, -1) = (2, 0)。

因此，a1 - β1和a2 - β2不是线性无关的，反例证明了原命题不一定成立。

因此，结论“若a1,a2线性无关，β1，β2线性无关，则a1-β1，a2-β2也线性无关”是不成立的。

Answer 2

对于向量a1和a2的任意线性组合c1a1+c2a2，如果我们能够找到c1和c2，使得c1(a1-β1)+c2(a2-β2)=0成立，其中0表示零向量，则证明向量a1-β1和a2-β2是线性相关的。
假设存在c1和c2使得c1(a1-β1)+c2(a2-β2)=0，我们需要证明c1=c2=0。
展开上式得到c1a1 - c1β1 + c2a2 - c2β2 = 0。
将相同系数的向量合并得到(c1a1 + c2a2) - (c1β1 + c2β2) = 0。
由于a1和a2是线性无关的，所以c1a1 + c2a2 = 0只能得到c1=c2=0。
再次回代原式得到0 - c1β1 - c2β2 = 0，由于β1和β2也是线性无关的，所以c1β1 + c2β2 = 0只能得到c1=c2=0。
因此，我们证明了只有当c1=c2=0时，c1(a1-β1)+c2(a2-β2)=0才成立，所以向量a1-β1和a2-β2是线性无关的。

Answer 3

非也。比如，当 β1=α1，β2=α2 时，尽管 a1 与 a2 线性无关，β1 与 β2 线性无关，但由于
α1－β1 = 0 = α2－β2，
明显的，α1－β1 与 α2－β2 是线性相关的。

Answer 4

线性无关的时

k1（a1-β1）-k2（a2-β2）=0 时 k1 k2必须等于0

当a1=β1 a2=β2且均不等于0
上式中k1和k2可以等于非零常数

所以也可以线性相关
所以是错误的

Answer 5

非也。比如，当 β1=α1，β2=α2 时，尽管 a1 与 a2 线性无关，β1 与 β2 线性无关，但由于
α1－β1 = 0 = α2－β2，
明显的，α1－β1 与 α2－β2 是线性相关的。