Question

关于数学相似三角形的一些难题

1.在梯形ABCD中，AD平行BC，E、F分别为CD、AB的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H。
求证：（1）FG=EH；（2）GH=1/2（BC-AD)

2.在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，M、N分别是BE、CD边上的中点，过M、N的直线分别交AB、BC于点F、G。
求证：AF=AG

3.DE是三角形ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N。
求 AN/BN的值

4.已知G、H是三角形ABC的边AC的三等分点，E、F分别为AB、BC的中点，延长EG和FH交于D，连结AD、CD。
求证：四边形ABCD是平行四边形
图只有1和3的
画的不太好，没办法
很急的
帮帮我

Answer 1

别急我开始给你算 第一题
(1)由梯形中位线定理 ef//ad//bc
所以fg//ad 所以fg/ad=bf/ba=1/2 所以fg=1/2ad
同理 he//ad 所以he/ad=ce/cd=1/2 所以he=1/2ad=fg
(2)因为ef是梯形中位线 所以有ef=1/2(ad+bc)
由（1）我们得到fg=he=1/2ad
所以gh=ef-fg-he=1/2(ad+bc)-1/2ad-1/2ad=1/2(bc-ad)
第二题
首先设de中点为p
连接mp和np 则mp是三角形bde中位线 np是三角形dce中位线
则有mp//=1/2bd np//=1/2ec(//=是平行等于号 这个lz知道吧 唔)
因为bd=ce 所以mp=np
连接ap并延长交mn所在直线于k点 则有mp/af=kp/ka
同理 因为np//ce 所以有np/ag=kp/ka
所以mp/af=np/ag 又因为mp=np 所以 af=ag
第三题
过关于bc的平行线交cn的延长线于p点
所以ap/bc=an/bn--------------------(1)式
de是中位线所以de//bc//ap
所以me/ap=ce/ca=1/2
所以me=1/2ap
又因为m是de中点
所以me=1/2de
所以1/2ap=1/2de 即ap=de
又因为de是中位线 所以de=1/2bc 所以ap=1/2bc
由（1）式 所以an/bn=ap/bc=1/2bc/bc=1/2
第四题
gh=1/3ac
因为ef是三角形abc的中点
所以ef=1/2ac 所以gh/ef=2/3
又因为gh//ef 所以gh/ef=dh/df=2/3 所以dh/hf=2
又因为ah/hc=2 所以dh/hf=ah/hc=2 所以bc//ad
所以fc/ad=ch/ha=1/2 所以fc=1/2ad 又因为fc=1/2bc 所以ad=bc
因为ad//bc ad=bc 所以abcd是平行四边形
lz给分啊 多说一句 这好像不是难题吧 我是看着题把答案打出来的 画图都不用啊 呵呵 lz不会介意吧 呼呼 闪

Answer 2

1)由梯形中位线定理 ef//ad//bc
所以fg//ad 所以fg/ad=bf/ba=1/2 所以fg=1/2ad
同理 he//ad 所以he/ad=ce/cd=1/2 所以he=1/2ad=fg
(2)因为ef是梯形中位线 所以有ef=1/2(ad+bc)
由（1）我们得到fg=he=1/2ad
所以gh=ef-fg-he=1/2(ad+bc)-1/2ad-1/2ad=1/2(bc-ad)
第二题
首先设de中点为p
连接mp和np 则mp是三角形bde中位线 np是三角形dce中位线
则有mp//=1/2bd np//=1/2ec(//=是平行等于号 这个lz知道吧 唔)
因为bd=ce 所以mp=np
连接ap并延长交mn所在直线于k点 则有mp/af=kp/ka
同理 因为np//ce 所以有np/ag=kp/ka
所以mp/af=np/ag 又因为mp=np 所以 af=ag
第三题
过关于bc的平行线交cn的延长线于p点
所以ap/bc=an/bn--------------------(1)式
de是中位线所以de//bc//ap
所以me/ap=ce/ca=1/2
所以me=1/2ap
又因为m是de中点
所以me=1/2de
所以1/2ap=1/2de 即ap=de
又因为de是中位线 所以de=1/2bc 所以ap=1/2bc
由（1）式 所以an/bn=ap/bc=1/2bc/bc=1/2
第四题
gh=1/3ac
因为ef是三角形abc的中点
所以ef=1/2ac 所以gh/ef=2/3
又因为gh//ef 所以gh/ef=dh/df=2/3 所以dh/hf=2
又因为ah/hc=2 所以dh/hf=ah/hc=2 所以bc//ad
所以fc/ad=ch/ha=1/2 所以fc=1/2ad 又因为fc=1/2bc 所以ad=bc
因为ad//bc ad=bc 所以abcd是平行四边形

Answer 3

由梯形中位线定理 ef//ad//bc
所以fg//ad 所以fg/ad=bf/ba=1/2 所以fg=1/2ad
同理 he//ad 所以he/ad=ce/cd=1/2 所以he=1/2ad=fg