Question

用均值不等式证明a^2/b+c+b^2/a+c+c^2/a+b>a+b+c/2

Answer 1

请注意括号的正确使用,以免造成误解.　同时,条件中应该强调a、b、c是不等的正数.
∵a^2/（b＋c）＋（b＋c）/4＞2√｛［a^2/（b＋c）］［（b＋c）/4］｝＝a,
　b^2/（a＋c）＋（a＋c）/4＞2√｛［b^2/（a＋c）］［（a＋c）/4］｝＝b,
　c^2/（b＋c）＋（b＋c）/4＞2√｛［c^2/（b＋c）］［（b＋c）/4］｝＝c.
∴a^2/（b＋c）＋b^2/（a＋c）＋c^2/（b＋c）＋（a＋b＋c）/2＞a＋b＋c,
∴a^2/（b＋c）＋b^2/（a＋c）＋c^2/（b＋c）＞（a＋b＋c）/2.
注：a、b、c为不等正数是必要的,否则,均值不等式不成立.
　　且当a＝b＝c＞0时,a^2/（b＋c）＋b^2/（a＋c）＋c^2/（b＋c）＝（a＋b＋c）/2.