Question

无界函数为什么不一定是无穷大？

Answer 1

无界函数可能有子列，子列有极限，那么它就不是无穷大(利用函数极限与数列极限的关系)。

比如f(x)=xcosx在（－∞，＋∞）内无界，但不是x→＋∞时的无穷大。存在数列Xn=2nπ，f(Xn)=2nπ→＋∞（n→∞），所以｛f(Xn)}无界，从而函数f(x)在（－∞，＋∞）内无界。存在数列Yn=2nπ＋π／2，f(Yn)=0，所以函数f(x)不是x→＋∞时的无穷大。

具体解释：

无界函数的概念是指某个区间上的。

若对于任意的正数m，总存在某个点，使得｜f(x)|>m，则称该函数是区间上的无界函数。无穷大量是指在自变量的某个趋限过程（例）下因变量的变化趋势。

若自变量x无限接近x0(或｜x|无限增大）时，函数值｜f(x)|无限增大，则称f(x)为x→x0(或x→无穷）时的无穷大量。

例如f(x)=1/(x-1)2是当x→1时的无穷大量，f(n)=n2是当n→∞时的无穷大量。