Question

非退化线性替换为什么不改变正定性

Answer 1

非退化线性替换可以用矩阵的语言来描述。

设 $A$ 和 $B$ 为 $n$ 阶矩阵，如果存在一个非退化矩阵 $P$ 使得 $A= PBP^{-1}$，那么 $A$ 和 $B$ 被称为线性等价。注意到这时 $A$ 和 $B$ 具有相同的特征值和特征向量。

而对于一个对称矩阵 $M$，其正定性等价于所有特征值均为正数。由于非退化替换不改变特征值，因此它也不改变矩阵的正定性。

具体来说，假设 $M$ 为一个对称正定矩阵，且存在一个非退化矩阵 $P$，那么有

$\text{det}(M) = \Pi_i \lambda_i, \text{det}(PMP^{-1}) = \text{det}(M) = \Pi_i \lambda_i$

因此 $PMP^{-1}$ 也是正定的，也就是说，非退化替换不改变矩阵的正定性。

因此，我们可以得出结论，非退化线性替换不改变矩阵的正定性。