Question

高二数学数列

已知数列{an}满足a1=7/6,a(n+1)=（1/2）an+1/3 (n属于正整数)。
1）求数列{an}的通向公式；
2）记cn=t^n[lg(2t)^n+lg(an-2/3)](t>0),若对任意的n属于正整数，恒有cn<c(n+1)成立，求t的取值范围。
注意：1，2，3…n为下标 其中有2t的n次方
要全解，急急急！！！

Answer 1

1:
a(n+1)=1/2an+1/3
a(n+1)-2/3=1/2(an-2/3)
令bn=an-2/3
b(n+1)=a(n+1)-2/3
所以bn为等比空培数斗轿唯列，公比为1/帆猜2
bn=b1(1/2)^)(n-1)
b1=a1-2/3=7/6-2/3=1/2;
bn=(1/2)^n
an=bn+2/3=(1/2)^n+2/3
2:
cn=t^n[lg(2t)^n+lg(an-2/3)]
=t^n[nlg(2t)+lg(1/2)^n]
=t^n[nlg(2t)-nlg2]
=t^n[nlgt]
=t^nlg(t)^n
=lg(t)^[nt^n]
c(n+1)=lg(t+1)^[(n+1)t^(n+1)]
c(n+1)-cn=lg(t+1)^[(n+1)t^(n+1)]/(t)^[nt^n]>0
(t+1)^(n+1)t^(n+1)>t^nt^n

Answer 2

1)由题意滚竖可得2a(n+1)=an+2/3
则有2a2=a1+2/3
2a3=a2+2/3变形为(2^2)a3=[2^(2-1)]a2+(2^2)/3
2a4=a3+2/3变形为(2^3)a4=[2^(3-1)]a3+(2^3)/3
......................
2a(n-2)=a(n-3)+2/3变形为[2^(n-3)]a(n-2)=[2^(n-3-1)]a(n-3)+[2^(n-3)]/3
2a(n-1)=a(n-2)+2/3变形为[2^(n-2)]a(n-1)=[2^(n-2-1)]a(n-2)+[2^(n-2)]/3
2an=a(n-1)+2/3变形为[2^(n-1)]an=[2^(n-1-1)]a(n-1)+[2^(n-1)]/3
以上各式相加得[2^(n-1)]an=a1+[2+2^2+2^3+......+2^(n-3)+ 2^(n-2)+2^(n-1)]/3 =a1+2[2^(n-1)-1]/3=7/6+(2^n)/3-2/3=(2^n)/3+1/2
得an=2^(-n)+2/3
这种方法比较复杂可考虑迹备纳用引入参数姿没的方式求解如下
由题意可得2a(n+1)=an+2/3即2[a(n+1)-2/3]=an+2/3
设bn=an-2/3,b(n+1)=a(n+1)-2/3则b(n+1)/bn=1/2
可知bn是以b1=a1-2/3=7/6-2/3=1/2为首项1/2为公比的等比数列
则bn=b1q^(n-1)=1/2*(1/2)^(n-1)=2^(-n)
得an=bn+2/3=2^(-n)+2/3

2)cn=t^n[lg(2t)^n+lg(an-2/3)]
=t^n{lg[(2t)^n(an-2/3)]}
=t^n{lg[(2^n)(t^n)(2^(-n)+2/3-2/3)]}
=t^n[lg(t^n)]
=(n*t^n)[lg(t)]
则c(n+1)=[(n+1)*t^(n+1)][lg(t)]={[(n+1)t]*t^n}[lg(t)]
则由题意可知{[(n+1)t]*t^n}[lg(t)]> n*t^n[lg(t)] (1)
a.当lg(t)>0＝lg1即t>1时(1)可变形为[(n+1)t]*t^n>n*t^n
即t>n/(n+1)
则t>1(取交集）
b.当lg(t)<0即0<t<1时（1）可变形为[(n+1)t]*t^n<n*t^n
即t<n/(n+1)<1
则0<t<n/(n+1)(取交集）
综上所述t>1或0<t<n/(n+1） （取并集）