Question

AD是△ABC的中线，求证AB²+AC²=2（AD²+BD²）

Answer 1

不妨设AB>AC,过A作AD垂直BC，垂足为D，
AB^2=AD^2+BD^2=AD^2+(BM+MD)^2 (1)
AC^2=AD^2+CD^2=AD^2+(BM-MD)^2 (2)
AM^2=AD^2+MD^2
(1)+(2)得
AB^2+AC^2=2(AD^2+BM^2+MD^2)=2(BM^2+AM^2)

^2表示平方

Answer 2

令<ADB=<a,<ADC=π-<a
cos<ADB=-cos<ADC=cos a
AB^2=AD^2+BD^2-2AD*BDcos a
AC^2=AD^2+CD^2+2AD*CDcos a
AB^2+AC^2=2AD^2+BD^2+CD^2+2AD*cos a(BD-CD)
BD=CD
AB^2+AC^2=2AD^2+BD^2+CD^2+2AD*cos a(BD-CD)
=2(AD^2+BD^2)