Question

高等代数证明：A、B皆为n阶方阵，如果AB=BA，且A有n个不同的特征值，证明B相似于对角

请高手帮忙解答一下~谢谢~

Answer 1

由A有n个不同的特征值，每个特征值对应的特征空间维数为1，且所有特征向量线性无关。设a为A的特征值，x为对应的非零特征向量，则ABx=BAx=B(Ax)=B(ax)=a(Bx)，这说明Bx也是A的对应于特征值a的特征向量，Bx和x同在a对应的特征空间（维数为1）中，x非零，从而存在b使得Bx=bx。这说明A的特征向量都是B的特征向量，B也有n个线性无关的特征向量，必相似于对角阵

Answer 2

楼上解答不完全，若BX=0呢？BX还是A的对应于特征值a的特征向量吗？