Question

求解概率论问题！！！要详细过程！！！

1、若随机变量X服从参数为0.5的指数分布，则E（X)=?,D(X)=?

Answer 1

栏目达不好打，用t代替了
密度函数是：f(x)=te^(-tx)
E(x)=∫xf（x）dx=∫ txe^(-tx)dx=1/t∫ ye^(-y)dy=1/t
所以E（x）=2
D(x)= E(X − E(X))^2=E（x^2）-E(x)^2=∫tx^2e^(-tx)dx-1/t^2=1/t^2∫y^2e^(-y)dy -1/t^2= 2/t^2-1/t^2=1/t^2
所以D（x）=4

Answer 2

f(x)=e^(-λx), for x ≥ 0; =0, for x<0.

E(X)=1/λ, D(X)=1/λ²
When λ=0.5, E(X)=2, D(X)=4

Proof:

∫xf(x)dx=∫(0,1)xe^(-λx)dx=1/λ
D(X)=E{(X-E(X))²}=E(X²)-(E(X))²
=∫(0,1)x²e^(-λx)dx-1/λ²
=2/λ²-1/λ²
=1/λ²