Question

已知a,b,c是不全相等的正数求证（a+b)（b+c）（c+a）>8abc

已知a,b,c是不全相等的正数求证（a+b)（b+c）（c+a）>8abc

要过程、请快点

Answer 1

利用基本不等式，可得：
(a+b)≥2√(ab)
(b+c)≥2√(bc)
(c+a)≥2√(ca)
以上三式相乘，得：
(a+b)(b+c)(c+a)≥2√(ab)×2√(bc)×2√(ca)=8abc
等号当且仅当a=b=c时成立。

Answer 2

a+b>=2sqrt(ab) 等号仅当a=b时成立
同理
a+c>=2sqrt(ac)
c+b>=2sqrt(bc)
相乘得到
（a+b)（b+c）（c+a）>=8abc等号仅当a=b=c时成立。但a，b，c不全相等，所以是严格大于号。

Answer 3

利用基本不等式，可得：
(a+b)≥2√(ab)
(b+c)≥2√(bc)
(c+a)≥2√(ca)
以上三式相乘，得：
(a+b)(b+c)(c+a)≥2√(ab)×2√(bc)×2√(ca)=8