关于椭圆方程的一道题目，数学高手帮忙解答~
椭圆中心是坐标原点O，焦点在x轴上，e=√3/2,过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，|PQ|=20/9，且OP⊥OQ,求此椭圆的方程。...
椭圆中心是坐标原点O，焦点在x轴上，e=√3/2,过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，|PQ|=20/9，且OP⊥OQ,求此椭圆的方程。
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设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b)
由e=√3/2=c/a得a^2=4b^2,c^2=3b^2
∴椭圆方程为x^2/(4b^2)+y^2/b^2=1，左焦点F(-c,0)
设直线方程为y=k(x-c),P(x1,y1),Q(x2,y2)
将椭圆方程与直线方程联立，化简得：
(4k^2+1)x^2-8(k^2)*cx+4(c^2)(k^2)-4b^2=0
∴x1+x2=8(k^2)*c/(4k^2+1)
x1*x2=[4(c^2)(k^2)-4b^2]/(4k^2+1)
由OP⊥OQ得x1*x2+y1*y2=0
而y1*y2=k(x1-c)*k(x2-c)
=k^2[x1*x2-c(x1+x2)+c^2]
=[(c^2)*4b^2]*k^2/(4k^2+1)
∴x1*x2+y1*y2=[5(c^2)(k^2)-4b^2-4(b^2)(k^2)]/(4k^2+1)=0
即5(c^2)(k^2)-4b^2-4(b^2)(k^2)=0
得k^2=4/11,代如联立所得的方程中，得：
(27/11)*x^2-(32cx)/11+(4b^2)/11=0
∴x1+x2=32c/27,x1*x2=(4b^2)/27
由弦长公式：|PQ|=√(1+k^2)×|x1-x2|可得：
(20/9)^2=(15/11)*[(32c)^2-16b^2]/27^2
b^2=165/191，代入即可得椭圆方程
由e=√3/2=c/a得a^2=4b^2,c^2=3b^2
∴椭圆方程为x^2/(4b^2)+y^2/b^2=1，左焦点F(-c,0)
设直线方程为y=k(x-c),P(x1,y1),Q(x2,y2)
将椭圆方程与直线方程联立，化简得：
(4k^2+1)x^2-8(k^2)*cx+4(c^2)(k^2)-4b^2=0
∴x1+x2=8(k^2)*c/(4k^2+1)
x1*x2=[4(c^2)(k^2)-4b^2]/(4k^2+1)
由OP⊥OQ得x1*x2+y1*y2=0
而y1*y2=k(x1-c)*k(x2-c)
=k^2[x1*x2-c(x1+x2)+c^2]
=[(c^2)*4b^2]*k^2/(4k^2+1)
∴x1*x2+y1*y2=[5(c^2)(k^2)-4b^2-4(b^2)(k^2)]/(4k^2+1)=0
即5(c^2)(k^2)-4b^2-4(b^2)(k^2)=0
得k^2=4/11,代如联立所得的方程中，得：
(27/11)*x^2-(32cx)/11+(4b^2)/11=0
∴x1+x2=32c/27,x1*x2=(4b^2)/27
由弦长公式：|PQ|=√(1+k^2)×|x1-x2|可得：
(20/9)^2=(15/11)*[(32c)^2-16b^2]/27^2
b^2=165/191，代入即可得椭圆方程
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北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2023-08-25 广告
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