Question

求证:任意正实数abc,,a/根号(a^2+b^2)+b/根号(c^2+b^2)+c/根号(c^2+a^2)>1

Answer 1

a，b，c大于0，故a/√(a^2+b^2)大于a/√(a^2+b^2+c^2),
a/√(a^2+b^2+c^2)在空间中代表了1在某方向的投影
由于两点之间直线最短，∑a/√(a^2+b^2+c^2)≥1,
故∑a/√(a^2+b^2)>∑a/√(a^2+b^2+c^2)≥1。

Answer 2

a/√(a^2+b^2)+b/√(b^2+c^2)+c/√(c^2+a^2)
>(√a+√b+√c)^2/(√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)) （柯西不等式）
>(√a+√b+√c)^2/√(2*(a^2+b^2+c^2)/3) （分母用基本不等式扩大）
>√(3/2)*(√a+√b+√c)^2/√(a^2+b^2+c^2)
>(√a+√b+√c)^2/√(a^2+b^2+c^2)
>(a+b+c)/√(a^2+b^2+c^2)
>√((a+b+c)^2)/(a^2+b^2+c^2))
>√(a^2+b^2+c^2)/(a^2+b^2+c^2)
=1
证毕