Question

高中数学问题！高手进

y=kx＋b(b不等于0)与双曲线的一支是否会有两个交点？有的话如何保证？此时与另一支有几个交点？还有，与左右支各有一个交点如何保证？是否保证了与左右支各有一交点后就不会再有与同支有两交点的情况？

Answer 1

我一个个来回答吧，有的是从方程的角度有的是从图像的角度。第一个问题在一支上有两个交点。如果双曲线的实轴在X轴。用X代Y带入方程以后先看根的判定式是否大于0，如果大于0再看两根之积，如果在同一支那么两根积应该是大于0的。如果需要知道具体在左边还是右边就看两根和，如果大于0说明在右边，小于0在左边。如果实轴在Y轴，那么用Y代X方法同上。（这种方法比较简单，但是只能处理中心在原点的双曲线，其实稍有移位也可以但就不多提了。如果需要处理经过移位的双曲线，有两种方法，第一种是利用代换把坐标的原点移到双曲线中心，这种方法比较讨巧。第二种就是解根，看根的具体数值，比较繁琐。）第二个问题，如果与一支有两个交点与另一支一定没有交点，因为双曲线是二次多值函数，与一次方程联立只能有两个根。第三个问题，左右各一交点就是用上述方法代入后看两根积，这个时候可以不需要看判定式，只要两根积小于0即可。第四个问题同第二个问题。
还有一种方法非常简单但是不建议在大题目中使用。如果要直线与双曲线在同一支上有两个焦点，只要符合两个条件：1.有交点。2.斜率的绝对值比双曲线的渐进线斜率的绝对值要大。如果要左右各一支，只要符合一个条件：斜率的绝对值比双曲线的渐进线斜率的绝对值要小。这样你一眼就可以看出交点的情况

Answer 2

（1）与一支会有两个交点的。连立方程后，保证两根同号且均大于a,或小于-a.此时，与另一支无交点。画出双曲线及渐近线后，可直观地看出的。（2)保证两根异号。画图看吧。

Answer 3

这个我觉得是考察数形结思想的灵活运用。你先画个双曲线草图，再随意画一条直线，记住，一定是随意画的，应能代表普遍意义。你画完图后你就会惊奇的发现，你提出的这些问题实际上很容易解决，根本就不用去联立方程组，去讨论根的正负，最简单的方法就是去讨论y=kx+b这条直线与双曲线的渐近线的位置关系，你想想看，是不是这么回事。因为双曲线的两支是与它的两条渐近线无限靠近但永不相交的，只要使直线y=kx+b的直线的斜率k满足与两渐近线的斜率有什么关系就可以有与某支两个交点，一支各有一个交点，以及你说的第三种情况存不存在的问题都能看的一清二楚。具体的你画图看看就行了，不明白的话可以在线联系，就是不知道我说没说清楚。