Question

一道初二几何证明题，在线等答案

以任意三角形ABC的边AB和AC为一边分别在三角形ABC的外部作等边三角形ABD和ACE,连BE和CD,交于点N，连AN，求证AN平分角DNE。

因为没到级别，不能上传图片。请见谅。
对于四点共圆，教材上没有，怎么办

Answer 1

如图，作AP⊥DC于P，AQ⊥BE于Q

∵ △ABD和△AEC均为正三角形

∴ AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°

∴ ∠DAC=∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC=∠BAE

∴ △DAC≌△BAE(边角边定理)

又 AP⊥DC于P，AQ⊥BE于Q

∴ AP=AQ(全等三角形对应边上的高相等)

∴ AN是∠DNE的平分线(角平分线定理的逆定理:到角的两边距离相等的点在角的平分线上)

Answer 2

证明：
∵△ACE和△ABD是等边三角形，
∴AE=AC，
AB=AD，
∠CAE=∠BAD=60°
∴∠CAD=∠EAB=∠CAB+60°
∴易知△CAD≌△EAB（SAS）
∴ANBD四点共圆，
∠AND=∠ABD=60°，
同理∠ANE=∠ACE=60°，
因此∠AND=∠ANE，
即AN平分∠DNE。