Question

高二数学双曲线综合题

双曲线x^2/13-y^2/12=-1的一支上有三个不同点A(x1,y1),B(根号26，6)，C（x3,y3），它们与焦点F（0，5）的距离成等差数列。1）求y1+y3;2)求证：线段AC的中垂线过定点

Answer 1

1）
x^2/13-y^2/12=-1
a^2=12,b^2=13
c^2=a^2+b^2=12+13=25,c=5
下准线方程：y=-a^2/c=-12/5
e=c/a=5/√13
点到焦点距离=e*点到准线距离
所以，e(y1+12/5)+e(y3+12/5)=2e(6+12/5)
y1+y3=12

2)
x3^2/13-y3^2/12=-1,x1^2/13-y1^2/13=-1
(x3^2-x1^2)/13=(y3^2-y1^2)/12
AC斜率=(y3-y1)/(x3-x1)=12(x1+x3)/13(y1+y3)=(x1+x3)/13
AC中点坐标((x1+x3)/2,(y1+y3)/2)即：((x1+x3)/2,6)
AC的中垂线斜率：-13/(x1+x3)
AC的中垂线方程：y=-13/(x1+x3)*(x-(x1+x3)/2)+6
=-13x/(x1+x3)+13/2+6
=-13x/(x1+x3)+25/2
即：y+13x/(x1+x3)=25/2
所以，x=0,y=25/2时，方程恒成立
即：线段AC的中垂线过定点 (0,25/2)

Answer 2

上图

1.y1+y3=12

2.(0,25/2)