Question

在平面直角坐标系xoy中,直线l与抛物线y^2=4x相交于不同的A,B两点

在平面直角坐标系xoy中,直线l与抛物线y^2=4x相交于不同的A,B两点

如果向量OA*向量OB=-4,证明直线l必过一定点，并求出该定点

Answer 1

设A坐标是（x1,y1),B(x2,y2)
y1^2=4x1
y2^2=4x2
向量OA*向量OB=x1x2+y1y2=-4
(y1y2)^2/16+y1y2+4=0
(y1y2/4+2)^2=0
y1y2=-8.
x1x2=64/16=4
设直线方程是y=kx+b
代入得：(kx+b)^2=4x
k^2x^2+(2kb-4)x+b^2=0
x1x2=b^2/k^2=4
得：b=(+/-)2k.
即直线方程是y=kx(+/-)2k=k[x(+/-)2]
故直线必过定点（2，0）或（-2，0）