Question

已知两平面方程且一定相交，如何求这两平面的相交直线的方程？

Answer 1

(x+14)/13=(y-7)/(-8)=(z-1)/(-1)。

两个方程联立就是直线的一种表达式。

要求出点向式方程，可以先用两个平面的法向量做外积得到直线的方向向量，在联立方程组中随便取一个z，解出相应的x,y就得到直线上的一个点。

如两个平面：

x+2y-3z+3=0。

2x+3y+2z+5=0。

直线的方向向量是(1,2,-3)×(2,3,2)=(13,-8,-1)。

令z=1得到x=-14,y=7，即直线上一点为(-14,7,1)。

所以点向式直线方程是：

(x+14)/13=(y-7)/(-8)=(z-1)/(-1)。

截距式

设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0，取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程：x/a+y/b+z/c=1。

它与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)，其中，a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。

Answer 2

利用两个平面方程消去一个自变量，得到一个二元方程，给其中一个变量赋任意值（0，1等，易于计算即可），解出另外两个变量，得到直线上的一个点的坐标。再算出两个平面的法向量，做叉乘，即直线的方向向量。有了直线上一点坐标和方向向量，就可以代入点向式中求出相交直线的方程。

追问

什么是点向式？
可不可以直接令两个方程相等，然后直接化简啊？
记得以前说可以就直接做差，不能可能我记混淆了

追答

直接相等不管怎么代都不可能成为一个式子，点向式就是过点（x0,y0,z0)的直线，方向向量是(a,b,c),直线的点向式方程就是（x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c
这里面有两个等号，实质上是两个等式

空间直线方程不能用一个式子表式

追问

十分感谢

Answer 3

两个方程联立就是直线的一种表达式。
要求出点向式方程，可以先用两个平面的法向量做外积得到直线的方向向量，在联立方程组中随便取一个z，解出相应的x,y就得到直线上的一个点。

追问

可以略举个例子吗？

追答

如两个平面
x+2y-3z+3=0
2x+3y+2z+5=0
直线的方向向量是(1,2,-3)×(2,3,2)=(13,-8,-1)
令z=1得到x=-14,y=7，即直线上一点为(-14,7,1)
所以点向式直线方程是：
(x+14)/13=(y-7)/(-8)=(z-1)/(-1)