Question

微分方程的幂级数解法

我看不懂f(x,y)=...怎么变成y=...
这部分的！

Answer 1

你可以理解成这样f(x,y)=x^2+3=y'
因为y'是X的多项式，而我们不知道y的结果时，我们可以先设y=a0+a1x+a2x^2+……
是不是感觉有种知道结果而故意去这么设的嫌疑。
但是这是符合逻辑的。
LZ要注意一个事实

任何的函数都可以展开成幂级数的和（泰勒展式知道不，应该能明白吧）
所以不论y究竟是什么样子的
设成y=y0+a1(x-x0)+……都是可以的
但是为什么设成这个样子呢，不设成其它的模样？
原因如下：
1、为什么是X-X0的幂？
因为y'含有x-x0的幂级数，如果y设成x-x0的幂级数，那么y-y0的幂级数也可以变成x-x0的幂级数，
根据已知的y'=f(x,y)=……便于计算相关的系数
2、为什么是y0+一堆？
这原因很简单，初始条件的限制。
不知道你理解没有

追问

第2个没理解，为什么是y0+。。。这种！

是因为当x=x0时y=y0，也就是说在x=x0时，f(x,y)=a00+a10(x-x0)...最后等于y0，
也就是说y0其实是a00？

是这个样子的么？如果不是的话那我看不出有什么联系了！

追答

f(x,y)是y对x的导数啊
y=f(x)是原函数啊，
因为x=x0时,y=y0，根据已知的f（x,y）表达式
有f（x0,y0）=a00
与原函数y=f(x)的联系就是
f(x0)=y0，也就是初始条件
最后设的是y=f(x)不是导数f(x,y)
至于为什么能这么设，请看1