Question

直线l的解析式y= 3 4 x +8，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是x轴上一点，以P为圆心的圆与直线l

直线l的解析式y= 3 4 x +8，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是x轴上一点，以P为圆心的圆与直线l相切于B点．（1）求点P的坐标及⊙P的半径R；（2）若⊙P以每秒 10 3 个单位沿x轴向左运动，同时⊙P的半径以每秒 3 2 个单位变小，设⊙P的运动时间是t秒，且⊙P始终与直线l有交点，试求t的取值范围；（3）在（2）中，设⊙P被直线l截得的弦长为a，问是否存在t的值，使a最大？若存在，求出t的值．

Answer 1

（1）如图，由于直线l：y= 3 4 x +8与x轴、y轴分别交于A、B两点，所以A、B两点的坐标可以求出，线段OA、OB的长度也可以求出，又OB⊥AP，AB切⊙P于B点，可以得到△ABO ∽ △BPO，然后根据相似三角形的对应边成比例就可以求出OP，BP，也就求出了题目的结论； 求得P点坐标（6，0），半径PB=10． （2）若⊙P以每秒 10 3 个单位沿x轴向左运动，同时⊙P的半径以每秒 3 2 个单位变小， 设⊙P的运动时间为t秒，且⊙P始终与直线l有交点，试求t的取值范围； R≥点P到直线L的距离，则⊙P始终与直线l有交点． P[（6- 10 3 t），0]，R=10- 3 2 t，L：3x-4y+32=0 点P到直线L的距离H=|10-2t| 10- 3 2 t≥|10-2t| 10- 3 2 t≥10-2t≥-（10- 3 2 t） 解得：0≤t≤ 40 7 ； （3）在（2）中，设⊙P被直线l截得的弦长为a，问是否存在t的值，使a最大？若存在，求出t的值 一定存在t的值，使a最大 （ a 2 ） 2 =R 2 -H 2 =（10- 3 2 t） 2 -（10-2t） 2 =（- 32 9 ）?（t- 15 4 ） 2 +50 则a 2 =-7t 2 +40t， t= 40 14 = 20 7 时，a 2 最大 = 400 7 ，a 最大 = 20 7 7 ．