Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点F2（2，0），渐近线方程为y＝±33x（1）求双曲线C的方程；（2）若过右焦

已知中心在原点的双曲线C的右焦点F2（2，0），渐近线方程为y＝±33x（1）求双曲线C的方程；（2）若过右焦点F2的直线l：x＝my+2与双曲线C右支交于A、B两个不同点，求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，求证：1|F2A|+1|F2B|为定值．

Answer 1

（1）解：设双曲线C的方程为

x 2

a2

?

y 2

b2

＝1（a＞0，b＞0）
∵双曲线C的右焦点F₂（2，0），渐近线方程为y＝±

3

3

x
∴

a2+b2＝4 b a ＝ 3 3

，∴b²=1，a²=3
∴双曲线C的方程为

x 2

3

?y2＝1；
（2）解：设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则直线l：x＝my

+2

与双曲线C联立，消去x可得（m²-3）y²+4my+1=0
∵直线l：x＝my

+2

与双曲线C右支交于A、B两个不同点，
∴y₁y_2＜0
∴

1

m2?3

＜0
∴?

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