Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，（Ⅰ）求证：BC1⊥平面CDB1；（Ⅱ）求二面角B-B1D-C的大小；（

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，（Ⅰ）求证：BC1⊥平面CDB1；（Ⅱ）求二面角B-B1D-C的大小；（Ⅲ）求三棱锥D1-CDB1的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中有CD⊥面BCC₁B₁，
且四边形BCB₁C₁为矩形．
∴CD⊥BC₁，B₁C⊥BC₁
∴BC₁⊥平面CDB₁---------------------------------（4分）
解：（Ⅱ）设B₁C∩BC₁=O，过点O作OE⊥B₁D，垂足为点E，连结BE
由BC₁⊥平面CDB₁知：BE⊥B₁D
∴∠BEO为二面角B-DB₁-C的平面角-------（6分）
在正方形BC C₁B₁中，BC=CD=1，
∴B₁O=BO=OC=

2

2

，
∵Rt△DCB₁∽Rt△OCB₁
∴OE=

6

6

------------（8分）
∴tan∠BEO=

3

即∠BED=60°
∴二面角B-AB₁-C为60°--------------------------（10分）
解：（Ⅲ）∵B₁C₁⊥面ACC₁A₁
∴VD1?CDB1＝VB1?CDD1＝

1

3

S△CDD1?B1C1＝

1

3

?

1

2

?1＝

1

6

-------（14分）