Question

（2014?大庆二模）选修4-1：几何证明选讲如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O

（2014?大庆二模）选修4-1：几何证明选讲如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．（Ⅰ）求证AC?BC=AD?AE：；（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=2，CF=4，求AC的长．

Answer 1

（I）证明：如图所示，连接BE．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．
又∠E与∠ACB都是

AB

所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．
∵AD⊥BC，∠ADC=90°．
∴△ABE∽△ADC，∴

AB

AD

＝

AE

AC

，∴AB?AC=AD?AE．
又AB=BC，∴BC?AC=AD?AE．
（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF²=AF?BF，
∵AF=2，CF=4，∴4²=2BF，解得BF=8．
∴AB=BF-AF=6．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，
∴

AF

FC

＝

AC

BC

，∴AC＝

AF?BC

CF

=3．