Question

正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别是AB1、A1C1上的点，A1N=AM，（1）求证：MN∥BB1C1C；（2）求M

正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别是AB1、A1C1上的点，A1N=AM，（1）求证：MN∥BB1C1C；（2）求MN的长度最小值．

Answer 1

解答：（1）证明：作NE∥A₁B₁交B₁C₁于E，作MF∥AB交BB₁于F，连结EF，则NE∥MF．
∵NE∥A₁B₁，
∴

NE

A1B1

＝

C1N

A1C1

．
又MF∥AB∥A₁B₁，∴

MF

AB

＝

B1M

AB1

．
∵A₁C₁=AB₁，A₁N=AM，
∴C₁N=B₁M．∴

NE

A1B1

＝

MF

AB

．
又AB=A₁B₁，∴NE=MF．
∴四边形MNEF是平行四边形，
∴MN∥EF，且MN=EF．
又MN?平面BB₁C₁C，EF?平面BB₁C₁C，
∴MN∥平面BB₁C₁C．
（2）解：设B₁E=x．
∵NE∥A₁B₁，∴

B1E

B1C1

＝

A1N

A1C1

．
又∵MF∥AB，∴

B1F

BB1

＝

B1M

AB1

．
∵A₁N=AM，A₁C₁=AB₁=

2

a，B₁C₁=BB₁=a，B₁E=x，
∴

x

a

+

B1F

a

＝1．∴B₁F=a-x．
从而MN=EF=

x2+(a?x)2

=

2(x? a 2 )2+ a2 2

．
∴当x=

a

2

时，MN取得最小值为

2

2

a．