Question

已知函数fx =lnx.gx=0.5ax2-bx.hx=fx-gx.若g(2)=2,讨论函数hx

单调性

Answer 1

已知函数f(x)=lnx,g(x)=(1/2)ax²+bx ,若b=2且函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围.
h(x)=lnx-(1/2)ax²-2x；定义域：x>0.h'(x)=(1/x)-ax-2=(-ax²-2x+1)/x；当a=0时h'(x)=(-2x+1)/x,由-2x+1≦0,得x≧1/2；即当a=0时,在x≧1/2时h(x)单调减因此a=0满足题意.当a≠0时,h'(x)的表达式的分子是个二次函数,二在定义域内,分母x>0,故只需分子的判别式Δ=4+4a>0,即a>-1二次函数的图像就会与x轴有两个交点,因此就一定会有h'(x)-1.

Answer 2

g(2)=2a-2b=2, 得：a-b=1, 即b=a-1
h(x)=f(x)-g(x)=lnx-0.5ax²+bx
h'(x)=1/x-ax+b=[-ax²+(a-1)x+1]/x=-(ax+1)(x-1)/x
定义域为x>0, 讨论a:
若a>=0, 则由h'(x)=0得：x=1, 当0<x<1时，单调增，当x>1时，单调减；
若a<0, 则由h'(x)=0,得：x=1, -1/a,
若a=-1, 则h'(x)=(x-1)²/x>=0, 函数在x>0单调增；
若-1<a<0, 则单调增区间为：0<x<1, 或x>-1/a；单调减区间为(1, -1/a);
若a<-1, 则单调增区间为：0<x<-1/a, 或x>1; 单调减区间为(-1/a, 1)