Question

设函数fx=ax-2-lnx,若gx=ax-e^x,求证:在x>0时,fx>gx

Answer 1

f(x)=ax-2-lnx，g(x)=ax-e^x

• 解：

　　f(x)＞g(x)

　　⇔ax-2-lnx＞ax-e^x

　　⇔2+lnx＜e^x

　　⇔e^x＜2+lnx

　　令h(x)=e^x-(2+lnx)(x＞0)

　　h'(x)

　　=(e^x-2-lnx)'

　　=e^x-1/x

　　=(xe^x-1)/x

　　令h'(x)=0，得：xe^x-1=0

　　不妨设x0e^(x0)-1=0

　　可以分析出0＜x0＜1

　　当0＜x＜x0时，h'(x)＜0，h(x)单调递减

　　当x＞x0时，h'(x)＞0，h(x)单调递增

　　∴ x=x0时，h(x)取得极小值(同时也是最小值)

　　由x0e^(x0)-1=0得：

　　e^x0=1/x0，x0=1/e^x0

　　lnx0=-x0

　　h(x)_min

　　=h(x0)

　　=e^x0-2-lnx0

　　=1/x0+x0-2

　　＞2-2(∵ 0＜x0＜1)

　　=0

　　∴ e^x-(2+lnx)＞0

　　∴ e^x＞2+lnx

　　∴ ax-2-lnx＞ax-e^x(x＞0)