Question

设X1，X2是方程2x^2-4mx+2m^2+3m-2=0的两个实数根，当m为何值时，X1^2+

设X1，X2是方程2x^2-4mx+2m^2+3m-2=0的两个实数根，当m为何值时，X1^2+X2^2有最小值？并求出这个最小值。

Answer 1

解由题知方程的
Δ≥0
即(-4m)^2-4*2(2m^2+3m-2)≥0
即16m^2-16m^2-24m+16≥0
即24m≤16
即m≤2/3
又由根与系数的关系知
x1+x2=2m，x1x2=(2m^2+3m-2)/2

故X1^2+X2^2

=(x1+x2)^2-2x1x2
=(2m)^2-2*(2m^2+3m-2)/2
=4m^2-2m^2-3m+2
=2m^2-3m+2
=2(m-3/4)^2+2-9/8
=2(m-3/4)^2+7/8
≥7/8
故当m=3/4时，X1^2+X2^2有最小值7/8。

追问

不对

追答

偶看出来最后一点做错了
解由题知方程的
Δ≥0
即(-4m)^2-4*2(2m^2+3m-2)≥0
即16m^2-16m^2-24m+16≥0
即24m≤16
即m≤2/3
又由根与系数的关系知
x1+x2=2m，x1x2=(2m^2+3m-2)/2

故X1^2+X2^2
=(x1+x2)^2-2x1x2
=(2m)^2-2*(2m^2+3m-2)/2
=4m^2-2m^2-3m+2
=2m^2-3m+2
=2(m-3/4)^2+2-9/8
=2(m-3/4)^2+7/8 (m≤2/3)
故当m=2/3时，X1^2+X2^2有最小值2(2/3)^2-3(2/3)+2
=8/9-2+2
=8/9
综上知X1^2+X2^2有最小值8/9.

Answer 2

X1^2+X2^2=（x1+x2）^2-2x1x2

x1+x2=2m
x1*x2=3m/2-1
故X1^2+X2^2=4m^2-3m+2=4(m-3/8)^2+23/16
故在m=3/8时，X1^2+X2^2取得最小值23/16

满意请采纳，有疑问请继续追问~

追问

不对

追答

少看了一个2m^2
X1^2+X2^2=（x1+x2）^2-2x1x2

x1+x2=2m
x1*x2=3m/2-1+m^2
故X1^2+X2^2=2m^2-3m+2
故在m=3/4时，X1^2+X2^2取得最小值7/8

Answer 3

解：由韦达定理：x1+x2=2m
x1x2=m^2+3/2m-1
故x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=4m^2-m^2-3/2m+1=3(m-1/4)^2+13/16
故当x=1/4时，(x1^2+x2^2)min=13/16