Question

过双曲线 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1的一个焦点F作一条渐近线的垂线

过双曲线 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为______．

Answer 1

设垂足为D， 根据双曲线方程可知其中一个渐近线为y= b a x，焦点为F（ a 2 + b 2 ，0） D点坐标（ a 2 + b 2 2 ， b a 2 + b 2 a ） ∴k DF = b a 2 + b 2 a -0 a 2 + b 2 2 - a 2 + b 2 =- b a ∵OD⊥DF ∴k DF ?k OD =-1 ∴ b a = a b ，即a=b ∴e= c a = a 2 + b 2 a = 2 故答案为 2