Question

（1）引入：如图1，直线AB为⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于点P，且PC=BC，直线BC是否与⊙O相切，为什么？（2）

（1）引入：如图1，直线AB为⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于点P，且PC=BC，直线BC是否与⊙O相切，为什么？（2）引申：记（1）中⊙O的切线为直线l，在（1）的条件下，如图2，将切线l向下平移，设平移后的直线l与OB的延长线相交于点B′，与AB的延长线相交于点E，与OP的延长线相交于点C′．①找出图2中与C′P相等的线段，并说明理由；②如果OB′=9cm，B′C′=12cm，⊙O的半径为6cm，试求线段B′E的长．

Answer 1

解答：解：（1）直线BC与⊙O相切．    
证明：∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°．
∵OA=OB，CB=CP，
∴∠A=∠ABO，∠CPB=∠CBP．
∵∠APO=∠CPB，
∴∠ABO+∠CBP=90°，即OB⊥BC．
又∵点B在⊙O上，
∴直线BC与⊙O相切．          

（2）①C′E=C′P．
证明：∵OA=OB，∴∠A=∠OBA．
∵∠OBA=∠B′BE，
∴∠B′BE=∠A．
由题意知OB′⊥C′E，
∴∠BB′E=90°，
∴∠B′BE+∠B′EB=90°．
∵OA⊥OC′，
∴∠A+∠OPA=90°，
∴∠OPA=∠B′EB．
∵∠OPA=∠EPC′，
∴∠EPC′=∠C′EP，
∴C′E=C′P．                 
②设B′E=xcm，
在Rt△OB′C′中，
∵OB′=9，B′C′=12，
∴OC′=

B′C′2+OB′2

=15，
则C′P=C′E=12+x，OP=15-（12+x）=3-x，BB′=OB′-OB=9-6=3． 
∵∠BB′E=∠AOP=90°，∠B′BE=∠A，
∴△BB′E∽△AOP，
∴

B′E

BB′

=

OP

AO

，即

x

3

=

3?x

6

，
解得：x=1，
∴线段B′E的长为1cm．