Question

把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、

把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．（1）求证：△BHE≌△DGF；（2）若AB=6cm，BC=8cm，求线段FG的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）3cm．

试题分析：（1）先根据矩形的性质得出∠ABD=∠BDC，再由图形折叠的性质得出∠ABH=∠EBH，∠FDG=∠CDG，∠A=∠HEB=90°，∠C=∠DFG=90°，进而可得出△BEH≌△DFG； （2）先根据勾股定理得出BD的长，进而得出BF的长，由图形翻折变换的性质得出CG=FG，设FG=x，则BG=8-x，再利用勾股定理即可求出x的值． 试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠BDC， ∵△BEH是△BAH翻折而成， ∴∠ABH=∠EBH，∠A=∠HEB=90°，AB=BE， ∵△DGF是△DGC翻折而成， ∴∠FDG=∠CDG，∠C=∠DFG=90°，CD=DF， ∴∠DBH= ∠ABD，∠BDG= ∠BDC， ∴∠DBH=∠BDG， ∴△BEH与△DFG中， ∠HEB=∠DFG，BE=DF，∠DBH=∠BDG， ∴△BEH≌△DFG， （2）解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm， ∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm， ∴ ， ∵由（1）知，FD=CD，CG=FG， ∴BF=10-6=4cm， 设FG=x，则BG=8-x， 在Rt△BGF中， BG 2 =BF 2 +FG 2 ，即（8-x） 2 =4 2 +x 2 ， 解得x=3，即FG=3cm．