Question

（2011?滨州一模）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4，AB＝22，M，N分别是棱C

（2011?滨州一模）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4，AB＝22，M，N分别是棱CC1，AB中点．（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB1；（Ⅲ）求三棱锥B1-AMN的体积．

Answer 1

解答：解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC
又因为CN?平面ABC，所以AA₁⊥CN．
因为AC=BC=2，N是AB中点，
所以CN⊥AB．
因为AA₁∩AB=A，
所以CN⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）证明：取AB₁的中点G，连接MG，NG，
因为N，G分别是棱AB，AB₁中点，
所以NG∥BB₁，NG＝

1

2

BB1．
又因为CM∥BB₁，CM＝

1

2

BB1，
所以CM∥NG，CM=NG．
所以四边形CNGM是平行四边形．
所以CN∥MG．
因为CN?平面AMB₁，GM?平面AMB₁，
所以CN∥平面AMB₁．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM⊥平面AB₁N．
所以VB1?AMN＝VM?AB1N＝

1

3

×

1

2

×

2

×4×

2

＝

4

3

．
故答案为：

4

3

．