Question

如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F，DF=BC．求证：ED

如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F，DF=BC．求证：ED-FC=BE．

Answer 1

证明：延长EB至G，使BG=CF，连接CG，
∵DF⊥BC，
∴∠CBG=∠DFC=90°，
在△BCG和△FDC中

BC＝DF ∠GBC＝∠DFC BG＝CF

∴△BCG≌△FDC，
∴CD=CG，∠1=∠2，
∵∠1+∠DCF=90°，
∴∠2+∠DCF=90°，
∵∠DCE=45°，
∴∠ECG=45°，
∴∠DCE=∠ECG，
在△DEC和△EGC中，

DC＝GC ∠DCE＝∠GCE CE＝CE

∴△DEC≌△EGC（SAS），
∴ED=EG，
∴ED-FC=BE．