Question

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（ 1 2 ）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（ 1 2 ）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（ x-y 1-xy ），又数列{a n }满足a 1 = 1 2 ，a n+1 = 2 a n 1+ a 2n ，设b n = 1 f( a 1 ) + 1 f( a 2 ) +…+ 1 f( a n ) ．（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；（2）求f（a n ）的表达式；（3）是否存在正整数m，使得对任意n∈N，都有b n ＜ m-8 4 成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：令x=y=0，则f（0）=0，再令x=0，得f（0）-f（y）=f（-y）， ∴f（-y）=-f（y），y∈（-1，1）， ∴f（x）在（-1，1）上为奇函数．（3分） （2）∵ f( a 1 )=f( 1 2 )=-1，由(1)知f(x)+f(y)=f( x+y 1+xy ) ， ∴ f( a n+1 )=f( 2 a n 1+ a 2n )=f( a n + a n 1+ a n ? a n )=f( a n )+f( a n )=2f( a n ) ， 即 f( a n+1 ) f( a n ) =2 ∴{f（a n ）}是以-1为首项，2为公比的等比数列， ∴f（a n ）=-2 n-1 ．（7分） （3）∵ b n =-(1+ 1 2 + 1 2 2 ++ 1 2 n-1 )=- 1- 1 2 n 1- 1 2 =-2+ 1 2 n-1 ． 若 b n ＜ m-8 4 恒成立（n∈N + ），则 -2+ 1 2 n-1 ＜ m 4 -2，即m＞ 4 2 n-1 ． ∵n∈N + ，∴当n=1时， 4 2 n-1 有最大值4，故m＞4． 又∵m∈N，∴存在m=5，使得对任意n∈N + ，有 b n ＜ m-8 4 ．（14分）