Question

(满分l2分)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB． (1)求证

(满分l2分)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB． (1)求证：PB是⊙O的切线；(2)已知PA= ，BC=1，求⊙O的半径．

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Answer 1

(1)证明：连结OB． ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA． ∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA． ∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA， 即∠PAO=∠PBO．                               ……2分 又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°， ∴∠PBO=90°，∴OB⊥PB．                      ……4分 又∵OB是⊙O半径，∴PB是⊙O的切线．         ……5分 (说明：还可连结OB，OP，利用△OAP≌OBP来证明OB⊥PB) (2)解：连结OP，交AB于点D． ∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． ∵OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上． ∴OP垂直平分线段AB．                                             ……7分 ∴∠PAO=∠PDA=90°． 又∵∠APO=∠DPA，∴△APO∽△DPA． ∴ ，∴AP 2 =PO·DP．    又∵OD= BC= ，∴ PO(PO-OD)=AP 2 ． 即：PO 2 一 PO=( ) 2 ，解得PO=2．                                ……10分 在Rt△APO中，OA=  =1，即⊙O 的半径为l．            ……12分 (说明：求半径时，还可证明△APA∽△ABC或在Rt△OAP中利用勾股定理)

略