Question

已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4-x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′

已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4-x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（　　） A．f（2 a ）＜f（3）＜f（log 2 a） B．f（3）＜f（log 2 a）＜f（2 a ） C．f（log 2 a）＜f（3）＜f（2 a ） D．f（log 2 a）＜f（2 a ）＜f（3）

Answer 1

∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4-x）， ∴f（x）关于直线x=2对称； 又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）?f′（x）（x-2）＞0， ∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增； 同理可得，当x＜2时，f（x）在（-∞，2）单调递减； ∵2＜a＜4， ∴1＜log 2 a＜2， ∴2＜4-log 2 a＜3，又4＜2 a ＜16，f（log 2 a）=f（4-log 2 a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增； ∴f（log 2 a）＜f（3）＜f（2 a ）． 故选C．