Question

如图，正方形ABCD的边长为2a，H是以BC为直径的半圆上一点，过点H与半圆相切的直线交AB于点E，交CD于点F。

如图，正方形ABCD的边长为2a，H是以BC为直径的半圆上一点，过点H与半圆相切的直线交AB于点E，交CD于点F。 （1）当H在半圆上移动时，切线EF与AB、CD的两个交点也分别在AB、CD上移动（E与A不重合，F与D不重合），试问四边形AEFD的周长是否也在变化？证明你的结论。（2）若∠BEF=60°，求四边形BCFE的周长。

Answer 1

解：（1）四边形AEFD的周长为定值 ∵EF切⊙O于点H，EB切⊙O于点B，FC切⊙O于点C， ∴EH=EB，FH=FC ∴四边形AEFD的周长为AD+AE+DF+EF=AD+AB+DC=6a。
（2）连接OE、OF，则OE平分∠BEF，OF平分∠CFE 若∠BEF=60°，则∠BEO=30°，∠OFC=60° ∴ ∴四边形BCFE的周长为BC+CF+FE+EB= 。